ご出産おめでとうございます。
先日、届出に関するページを作った時にいろいろ調べたので、お答えしますね。
まず、法務省によると出生届の提出方法は次のようになっています。
>届書を作成し,子の出生地・本籍地又は届出人の所在地の市役所,区役所又は町村役場に届け出てください。
所在地には、居住地だけでなく、実家などの一時滞在地も含まれるそうです。
ですから、tomoさんの場合はご自宅の場所・藤沢・鎌倉のいずれでも届出できます。
ただし、それ以外の手続き(出産育児一時金、乳児医療証、児童手当など)は
基本的にご自宅のある市区町村で行う必要があります。
郵送や電子申請で出来ることもあるので、
詳しくは、ご自宅の役所に問い合わせた方が良いと思います。